資訊融入國小數學領域教學---釐清分數迷思概念之研究
嘉義大學 鐘樹椽教授 劉祥通教授
和興國小 許瑞珊校長 邱文嵐主任 洪嘉宏教師 劉昌裕教師
和興國小 黃斐雯教師 黃淑津教師 吳麗玲教師
嘉義大學研究生 洪繼賢
壹、摘要
本研究旨在當前響國小教師面對九年一貫課程實施後，教師如何運用資訊融入既有的課程規劃，並以教育專業能力進行佈題及教學活動之設計，以釐清學童之迷思概念。教學單元主要為與分數教材相關的單元。本研究參與教師有六位，包含五年級學群教師三位及資訊、科任教師、主任各一位。本研究先由研究者引導教師教學，提供處方---提供具體可行之解題活動、分析學生解題類型之探索、進行結構化之佈題教學，並透過資訊融入教學之活動---利用網際網路搜尋資源、設計補救教學活動引導學習。在研究過程中同時使用觀察法、測驗、訪談法，並進行補救教學，藉以達到分數迷思概念釐清之最終目的。
關鍵詞︰分數、數學解題、CAI、資訊融入教學
貳、緒論
一、研究動機
當前國小數學課程強調「數學即解題（Mathematics as problem solving ）」，主張數學教學在使學生透過「解題」活動學習數學(周筱亭，1996)，教師的教學任務在於幫助學生發展數學意義，而九年一貫課程對資訊融入教學有著相當重大且深遠的意義。職是，數學教師的角色不應是「解題者」而是「佈題者」，學生才是「解題者」（甯自強，1993）。然而，國小數學新課程標準頒行有年，教師是否已能調整角色，依照課程目標，配合可利用的教學資源，以設計適當的解題活動？必將是決定新課程能否落實的關鍵。
根據劉祥通教授過去實地的觀察(劉祥通，2000)，發現目前小學數學有關解題的教學現況仍普遍存在若干值得關注的現象：其中，最顯著的是採用「教師演示—學生模仿」的教學模式。大部份的教師面對數學問題時，總是急著將最有效率、最「正確」的解法教給學生，俟學生有了回應，就立即要求學生不斷地反覆練習至純熟，以便獲得考試的高分。如此期待學生迅速的回應教師的問題，學生的責任似乎僅止於「模仿」教師的解題策略而已。
其次，教師忽略學生的自然解法，太快導入格式化的數學。長期以來，學校的數學教學始終忽略學生在進入學校之前，已擁有的數學知識，卻直接引入格式化的數學，然後要求學生接受與練習。此種過於格式化數學的學習將很容易造成學生只重視工具性的知識以獲得分數，而忽略數學概念之間的關連。尤有進者，國內學者亦曾指出，教師照本宣科，把教科書看成是課程的全部，甚至當作「聖經」般的對待，忽略了課程計畫、目標與經驗層面的意義（黃政傑，1991；蔡清田，1998）。教師的角色只在於將別人所研究、發展、或設計的課程產品，照本宣科地進行忠實的課程實施（歐用生，1996）。
再者，教學過程中很少給學生創意的解題空間。舉例來說，數學教科書上呈現學童的可能解法，目的是幫助老師了解其學生可能的自然解法，唯有老師多了解學生的想法，才能發展出有意義的教學活動。可惜，有部分老師卻認為課本的每個步驟都不能漏，在評量時又根據學生是否闕漏步驟而予以扣分。甚至，有的老師以為教科書的各種方法都要會，出題時還請學生列出課本中的所有方法。此種做法不但加重學生學習數學的負擔，更無法培養學生解題的獨立思考與創造思考。
要改進上述不理想的現象以實踐數學即解題的課程目標，教師如何設計教學活動？如何佈題？如何引導學生思考？又如何導入資訊、融入教學活動之歷程，使學生不受課本中的例題制約而能產生自主性的思考模式？使學生懂得擅用資訊運用網際網路協助解題活動之進行？是頗值得數學教育工作者予以重視的課題。
二、研究目的
針對上述的研究動機，本研究的目的如下：
（一）
診斷分析學生的分數迷思概念
（二）
從網路資源尋找可用教學資源
（三）
教師研究群開發分數教學活動
（四）
教師研究群實踐與修正教學活動，探討分數學習成效
（五）
分析學生解題行為，發展教學活動，提昇教師數學領域教學之專業能力。
（六）
促進學生解題之獨立思考能力及創造思考能力。
三、預期成效
（一）教師了解學生的分數迷思概念
（二）教師獲得教學資源
（三）教師學會教學策略
（四）學生獲得較完整的分數構念
學生從教學研究中獲得解題、溝通、推理、連結、與表徵等數學化的機會
參、文獻探討
單位量的指認
「無論是處理部分／全部意義，子集／集合意義，比的意義的分數問題或將分數視為數線上的一個點的值，最重要的一件事就是確認單位量。（呂玉琴, 1996)」。因此，欲真正了解分數必需得完全掌握「單位量」這個子概念。可是學生常常會有指認單位量的困難。例如，在處理部分/全部，子集/集合或數線的分數問題時常見迷思概念的現象，約略可以分為（1）忽略給定的單位量；（2）受分子的控制解題時只考慮到分子的因素；（3）受分母的控制只考慮到問題中的分母解題過程深受分母的影響。
兒童能否在圖形找到適當的單位，將指定的部分量分盡，再利用這個單位重組成全部或集合，這種能力即為「單位形成能力」，此能力是兒童能否解決分數問題的關鍵（Saenz-Ludlow, 1994;1995））。Hart（1981）曾以下列問題來了解英國中學生對於單位量指認的能力，問題是瑪莉花了她的零用錢的1/4，約翰花了他的零用錢的1/2，瑪莉可能比約翰花的錢多嗎?根據以上問題，發現12歲的學生回答的答案為「瑪莉的錢比約翰的多2倍」的比例分別佔了1.6％。而楊壬孝（19××）以同樣的題目在國內對國小六年級的學生測驗，發現國小六年級學生對分數單位量的了解也只有15％。
單位量的子分割
依分數數詞所描述的量的性質，可將分數的問題情境分為三類：(1)連續量情境，例如，「1/3條繩子」；(2)離散量情境，例如在一打鉛筆有12枝的情境中，討論「1/3打」鉛筆；(3)以全部為單位量的情境，例如在全部有12個糖果的情境下，討論「全部的1/3」(國立編譯館，民90年)。
在連續量的情境中，當某個連續量已經被度量化，例如「一條3公尺長的繩子」，由於可以將3個一公尺合成3公尺，因此，這樣的描述相當於「一盒糖果有3顆」，換句話說，公尺單位已將連續量離散化，因此，已度量的連續量情境亦可視為離散量的問題情境。
在離散量情境中，可分為以「一」為單位量，以及以「全部」為單位量這兩種子分割情境。分數詞，例如3/4，當單位「一」確定之後，一個部分（3/4）與單位「一」之間的關係，換言之，係以單位「一」來測量一個不滿一個單位量的部分後，對這個部分與單位「一」之間的關係的量化。因此，當面臨的子分割單位量不是「一」的情境，兒童可以根據分數詞的指示，將單位量的內容物依分母的數值而等分割成相對應的分數。但是，當子分割的單位量不是「一」，而是一個集聚單位時，也就是以全部為單位量的情境，例如，「12個糖果」，此時兒童必須先將該集聚單位視為一個高階單位「一」後，才能討論它與單位分數之間的關係。
至於是否可以將一個集聚單位視為高階單位「一」，並掌握其與單位分數之間的關係，與兒童的運思發展有密切的關係。就如同在整數的領域中，「4」與「12」之間的部分與整體關係的掌握，要到測量運思階段才有可能一樣，在分數的領域中，「1/4」與「12」之間的部分與整體關係的掌握也要到達相同階段。換言之，在部分與整體運思階段，由於還無法將「12」視為一個高階單位「一」，此時，1/4這個運算子並無適當的應用對象，因此，兒童在面對這種情境時，可能將1/4應用在12之中的一個元素上，或扭曲運算子的意義，而視1/4為一個量數。
分數的子構念
分數在小學階段約可以分成下列幾個子構念(Behr, Lesh,
Post, & Si;ver, 1983)，構念的意義分數如下：（見圖一）
分數當作部分-全體（Rational number as part-whole）：
牽涉到「從一些整體到部分分割的物體或心理的動作」。Streefland
(1987)與Ower(1976)的研究發現：需具有長度、面積守恆概念，才會有「部分－全部」的分數概念。不管是離散量和連續量二者的分割活動，在語意上都含有「部份與全體並置」的意味
(甯自強，1993)。以3/4為例，4等分中的3份。小學課本裡有：「圓形與長方形各分成兩半，問其中一半佔全部的幾分之幾？」的問題，兩者的答案都是「二分之一」，但是兩個二分之一是不等的，兩個分別是圓形與長方形的二分之一，既然圓形與長方形的大小不等，所以兩個「1/2」所代表的量也就不等了。同樣是「1/2」，但是所代表的量不等，對於學童來說是很困難的事。
分數當作商（rational
number as quotients）
兩數相除的結果（3÷4），例如，3塊蛋糕由4個人方享，若設每人吃到的蛋糕量用符號x表示，那麼就是解方程式4x=3，也就是x=3/4，高年級學生有很多學生不會用分數表示兩數相除的結果（楊錦連1999）。
Lamon (1999)指出：學童無法了解「分數當作商的概念」，直到在分割（partition）情境裡「一人分到多少份？」、「一個單位裡分到多少部分？」的問題能夠掌握。以上兩個問題對兒童來說要花很長的一段時間才能解答。Lamon也發現：分割的片數愈大，學童愈能掌握「商數層面」的「分數」問題（P.
83）。
分數當作運算子（rational
number as operators）
放大3倍除以4（縮小1/4倍）。其實既然看成運算子，也可以看成函數，也就是對於任意數x，函數 3/4把x轉換了，3/4 (X) = X ×3
/4。而在應用一個運算子的過程，就是放大與縮小，到底是放大還是縮小就取決於運算子的大小（Lamon, 1999）。
分數當作量數（rational
number as measures）
分數不僅是分割後的結果，分數也是數，分數在數線上可以佔一席之地，也就是可以在數線上表示分數的大小，數線上的一個值。
分數當作比值（rational
number as ratios）
3/4：看成是甲為乙的3/4倍的記號，在此3/4可以表示以4為一個單位時，3的大小。
以上五種分數的概念有不同的施教時機，需視問題情境轉變，例如「部分／整體」是限於連續量的型式；「子集合／全集合」比較適於離散量。前兩者也是國小五年級階段較熟悉的範圍（呂玉琴，1996）。後三者可能要在小六以後的學童才能掌握。
過程概念的特質
過去把數學知識分成工具性知識與關連性知識（Bishop,
1988），前者是程序性知識，後者是概念性知識（Skemp, 1991）。直到Gray 和Tall 於1993年提出過程概念（procept）後才把兩種知識連結起來。所謂過程概念是由「過程（process）」，「概念（concept）」，與符號「symbol」組成。例如，
這個符號，暨代表3除以4的過程，也代表分數
的概念，而稱此符號（
）為過程概念。簡單的說，3+2代表3與2兩數的相加，也代表兩數之和的概念，所以也是個過程概念。
有些數學概念是由操作程序而獲得的概念，例如經由「數數」的過程獲得「數」概念，經由「往上數」的過程，獲得「和（sum）」的概念，經由連續「累加」的過程獲得「積（product）」的概念（Gray,
& Tall, 1994）。同理，經由「連乘」的過程，獲得「積」的概念（見圖二）。這種經由操作程序而獲得的概念稱之為「過程概念（pro-cept）」，是否人人都要接由這些程序而獲得過程概念呢？筆者認為此答案是肯定的，資質較好的學生，操作程序的時間較短罷了，資質較差的學生，卻需要較長的時間。因此，從認知過程來看「演算法」的教學，先給學生慢慢體會程序的步驟是必要的，有些資質差的學生寫出很冗長的步驟是合乎認知的。
過程（process）在一般的意義上，是指數學運算的認知表徵，還不是思考上被執行的過程，更不是唯一被執行的一條路徑（Gray,
1991）。Piaget (1985）認為：不斷透過程序、行動（action）與運算（operation），過程可以理論化為思考的物件（objects of
thought）。
在心智運作「過程概念」時，若能配合深度的彈性思考，長此以往過程本身可以被發展到算數或代數物件（object）的程度（Nickson, 2000）。因此，教師在教導過程概念時，除了教導演算技巧的過程，更需要連結符號的意義，以形成正確的過程概念。
有關概念性知識思考是要有彈性的思考，不同於僵硬程序的思考，但是程序（procedure）是形成數學發展的基礎。由此看來，概念性知識是一種關係上非常複雜或豐富的，不易獲得的知識，卻可透過不斷的練習而獲得（Gray
& Tall, 1994）。概念性知識的單位不是孤立訊息的片段，持有它的人才知道它與其他相連結訊息的關係（Hiebert & Lefevre,
1986）。
Greeno (1983) 定義一個概念的實體（conceptual
entity）為一個認知的物件，它可以被操作，且是近入心理程序的入口（input）。認知過程是從一種動態的過程到一個靜態的概念實體，這個過程稱為膠囊化（encapsulation）（Dubinsky,
1991）。膠囊化是在運思更高層的層次，以致於數學的整體被視為結構的建構（constructuion of structure）（Piaget, 1972）。以數概念為例，數數（counting）在數概念的發展過程扮演關鍵性的角色。數數雖是過程(程序性知識)，但是經由數數卻可獲得數概念(概念性的知識)，可見，過程在建立概念的角色。
過程概念有模糊性、與對偶性，對此概念要有彈性的思考才算有了過程概念，若概念承載太多的程序，有些學生不能掌握就無法發展成過程概念，變成只記憶過程的程序而已（Gray & Tall, 1994）。過程概念既然是從過程衍生而來，且又有模糊性與對偶性，所以此種概念含有隱藏的知識（tacit
knowledge），此隱藏知識往往在教學中未被突顯（朱建正，1997）。
過程概念的學習
Hiebert（1992）在探討學校的數學學習時將知識分成以下三種：
1. 記號的知識（Knowledge of the notation）：了解符號所表徵的比值形式，例如2.34是小數的表示法，但是2.3.3卻不是小數的表示法。
2. 符號規則的知識（Knowledge of the symbol rules）：了解如何操作書寫符號，以獲得正確答案的知識。
3. 量的知識（Knowledge of quantities）：了解符號所代表的指示物的量。符號的了解是透過符號系統與所對應的概念結構的相互同化（assimilation）的過程（Skemp,
1979)）。
Nesher (1986)指出：認識程序與演算法也可以給概念了解做出貢獻。為了幫助符號知識的了解，發展了一套四階段的模型（Hiebert
and Wearne 1987），階段如下：（1）藉著連結到熟悉的指示物（referents）將數學符號創造意義；（2）從符號意義，發展符號操作的程序藉以反思（reflect）在指示物上操作的行動（action）;（3）精緻化與例行化符號的程序與規則;（4）用符號與規則當做指示物以建立更抽象的系統。
Dienes(1960/1961) 用丹尼氏積木（Dienes
based blocks）給學童認識多單位的結構概念，發現有顯著的成效；甚至用這些積木也可以介紹以二、三為基底的進位概念。但是，Resnick &
Omanson (1987) 的研究卻指出用丹尼氏積木輔助教學未必保證學生一定了解或獲得正確的計算。
從操作數學程序（procedure）進入可操作的心理物件（mental
object）的認知改變，是學習數學概念最重要的過程（Gray & Tall, 1994）。分數的乘法概念對中小學生來說雖是很艱深的概念，但是Kieren(1995)的研究證實：利用摺紙活動確實可以幫助學生建立分數是乘法性的行動（multiplicative
actions）。例如，請學生摺出1/48，不論從1/8再摺出1/6，或是從1/3，再對摺四次。這些活動多少都幫助學生發展了分數的倍數關係的了解。
適當表徵的情境（representational
context）可以促進了解，也可以是認知的一種工具（Ball, 1993）。Kent, Arnosky, & McMonagle (2002) 的研究以「瓶數-箱數」的對應表，讓學生從瓶數-箱數的對應，剛開始學生注意到對應表中的加法本質，發現每少一箱會少25瓶，到後來會發現乘法的倍數關係。此研究發現這樣的情境（「瓶數-箱數」的對應表）可幫助學生發展比例問題的乘法性推理。
不同的問題情境，對學生的認知了解是不同的（見圖三）。例如，兩種數學問題（1）2÷0.04; （2）一個甜圈圈需要0.04公斤的麵粉，2公斤的麵粉可做出多少個甜圈圈呢？，第2題對學生來說是較容易會達正確的(Morgan, 1989)。學校數學提提供給學生推理問題時，往往牽涉到符號的規則，且是完備界定（well-defined）且固定概念的數學問題；很少是真實真實情境的問題。但是，解真正實體世界的問題時，卻需要用到因果模式（casual
model）的情境，且那些問題往往是界定不清的（ill-defined），未必是數學形式的（Brown, Collins, & Duguid,
1989）。因此，學生從學校學到的數學知識，往往無法處理真實世界的數學問題，造成學生感覺到學校數學與真實世界孤立，甚至認為數學無用，長此以往，學生對數學的興趣會減低。所以設計教學活動時，需要某些真實的問題情境以幫助學生發展解題能力。
分數乘除法教材
分數是很高階的概念，是往後學習數學的基石，分數有如基礎數學與高深數學的分水嶺（劉秋木,1996）。Vergnaud (1983)在論述乘法概念域（multiplicative conceptual field）時提到分數的了解與乘法、除法、有理數、小數、線性函數、維度分析（dimension
analysis ）、以及向量空間（vector space）有密不可分的關係，Vergnaud 強調此等乘法概念域裡各個題材（topics）的內在關係（interrelationship）與相互依賴（interdependence）的複雜度，各個題材的概念發展又需花費一段相當長的時間。
有關分數（有理數）的單元，應多提供廣泛的經驗以幫助學生分數的學習（Behr, Harel,
Post & Lesh ,1990）。僅著重程序、方法、技巧、規則與演算法，這樣的教材取向不是把數學當作「省思」的學科，而是當作「操作」的學科，是無法幫助學生瞭解數學與發展數學意義(Bishop,
1989)。然而，筆者檢視依照六十四年版課程標準設計的舊教材，發現有關分數的教材有上述的缺失，且缺乏分數運算意義的探討，主要的設計缺失如下：
1. 過於重視公式的教導
在分數乘法的單元，『分數的相乘即分子乘分子，分母乘分母』；在分數除法的單元，課本很快的就導出『分數除以分數的商等於把被除數的分子、分母顛倒後和被除數相乘的積』，而沒有讓兒童充分的釐清乘、除法的基本概念。尤其，在課本每頁底下「算算看」裡只有計算題，老師與學生都很容易認為計算的熟練是各單元的終極目標。
2.教材序列僅作線性截割分配
各年級的分數教材序列安排，基本上僅單純的從數學結構的角度，將分數概念與分數計算，進行線性的截割分配。依六十四年版課程標準設計的舊教材缺乏相關概念的學習以進行良好的路徑編織，較高年級的分數教材，沒有重新結構中低年級的分數教材（林福來和黃敏晃,1993；呂玉琴,1996）。例如，介紹分數除以分數時，並未先溫習分數除以整數與整數除以分數的問題。
3.欠缺表徵的多元性
學生必須將一個概念放入各種不同的表徵系統中，且能精確的將一個概念從一個系統內轉換到另一個表徵系統，如此才算是了解一個概念（Lesh , 1981），但課本卻忽略了表徵的多元性，偏重用圖形面積的表徵方式，使學生難以在不同表徵方式間進行轉換，造成許多學生把分數的乘法當做面積=長×寬的機械式記憶，或將分數乘法看成是區域的分割，此種依照縱橫分割的印象就是部分學生對於乘除法的認識。甚至六十四年版課本也出現
×2 =
的錯誤表徵（見圖四），或許學生因此誤認為
×2 =
。
分數表徵
分數表徵的具體模型分為三種，即區域模型、集合模型(又稱數量型)、及線段模型等三種(支毅君，1995)。以二分之一為例：
或
0
1
區域模型
集合模型 線段模型
此三種模型的「部分／整體關係」和「子集／全體集合」兩種分數概念是相互配合的，蓋「區域模型」和「線段模型」是屬於「部分—整體關係」之外在表徵，亦屬於連續量的表徵方式。而「集合模型」則是「子集／全體集合」的外在表徵，亦屬於離散量的表徵方式。學生在分割平面圖形以處理「部分/全部」的分數問題時，以長方形最易處理，正方形次之，圓形最難（Piaget,
1960）。
支毅君(1995)的研究發現當學生在畫
時，所呈現的都是像分數板的模樣，因此研究者建議教學時平衡地使用不同分數表徵來指導學生，才能觸發學童對於分數意義有更寬廣的認識。
Lesh, Behr, & Post (1987)認為學生必須具有下列條件才算了解一個概念 (例如
): (1)他必須能將此概念放入各種不同的表徵系統之中: (2)在給定的表徵系統內，他必須能很有彈性的處理這個概念；(3)他必須能夠很精確的將此概念從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。
分數運算
分數的整數倍（見圖五）
國編本的兒童在四年級上學期開始在單位分數內容物個數為單一物的情境下，經驗分數的整數倍情境，而在四年級下學期，則在單位分數內容物個數為多個物的情境下，再次經驗分數的整數倍情境，惟此時的積數仍侷限在小於一的分數的情境。到了五年級上學期，則將整數的結果擴及到不小於一的情境。
在分數的整數倍活動方面，南一本一直到五年級下學期始正式引入。由於此時的兒童已經驗單位分數內容物為多個物下的其他分數活動經驗，而且也經驗假分數與帶分數的認識活動，因此，南一本兒童在五年級下學時，在不分區單位分數內容物個數下，同時讓學童經驗整數倍的結果為小於一，以及不小於一的情境。
整數的分數倍（見圖五）
國編本在五年級上學期，開始讓兒童在「全部」的情況下，經驗整數除以整數結果分數的活動。以這種活動為基礎，在五年級上學期時，開始讓兒童經驗基數為整數的整數的分數倍情境。而且，此時兒童所處理的，是以「個」為被計數單位，求n個的1/m的問題。例如，「桌上有12枝鉛筆，全部的1/3是多少枝鉛筆？」換句話說，此時不再是以「1」為子分割單位量，而是以「全部」為單位量。到了五年級下學期，則進一步經驗積數範圍小於一的整數倍的分數倍情境。南一本的學生在五年級結束之前，都未正式經驗整數的分數倍的乘法情境。
整數乘以分數的情境區分（見圖五）
1.
離散的單一個物,12個蘋果的1/12籃
2.
離散的複數個物,
12個蘋果的1/6籃
3.
連續量的,一條12公分繩子的1/3
4.
碎裂個物,12 個蘋果的
1/5(2+4/5個)
5.
未知量,一籃蘋果的1/3
以上五種不同的情境，對學生的認知難易是不同的，不同之處在於單位分數的內容物上。第一種的內容是單一個物的，例如:
一籃12個蘋果的
籃。
的內容物的一個。第二種的內容物是複數個物的，例如，一籃12個蘋果的
籃。
的內容物是4個。第三種的內容是連續量的。例如一條繩子的
條。
的內容不但是單一，而且量的性質是連續的。第四種的內容是破碎個物的。例如一籃12個蘋果的
籃。
的內容是2
個，非整數個的。最後一種，第五種的內容是未知量的，例如:一籃蘋果的
籃。
的內容，由於整籃蘋果數量的未知,所以是未知量。
異分母分數加減法的運算（見圖五）
了解等值分數的意義能解異分母分數加減法的基礎，而等值分數的比較可以透過兩種途徑來比較：（一）分數值所指的內容物，及（二）分數的分子與分母的比值。例如，
一打雞蛋12個，烘蛋糕用去
打，做茶葉但用去
打，烘蛋糕和作茶葉蛋哪件事用去的雞蛋比較多?
此例的答案是一樣多，也就是
與
都有相同的六個雞蛋。採用第一種比較方式，那麼
＝
的結論係來自於等值分數是比較活動的結果。至於採用第二種比較方式，則
＝
的結論係來自於兩分數的分子對分母的比值皆為
。
什麼是數？卡繆認為「數的意義的建立，不是來自於事件的本身，而是在於計數的人的心靈，不是在於發現『數』，而是在於能否意圖地結合這些不同的事務於思想之中。」（Caramuel, 1670）。 羅素則說：「數是代表某個集合的元素個數（A number is anything which is
the number of some class）」(Russel, 1956, p. 534)。
什麼是單位？杜威在 The psychology of
number一書中提到：「不論是相似或不同的物件，當它們被計數時，它們就是構成整體的部分，它們是單位（unity）裡的數個單位量（units）（Dewey
,1895,p. 26）」。用Euclid（1962）的說法，所謂單位，是存有而被稱為「一」的事物，而「數」是則是由「單位」所構成的（甯自強，1993）。因此「單位」的選擇關係著數的大小。
Steffe(1988)所提出單項單位（singleton
unit）與集聚單位（composite unit）的觀點（見圖六），可以解釋低年級學生解7+4=11的應用問題時採取策略的思維，例如，此題的策略可分為從頭數（counting
on）與往上數（counting up）兩種，往上數的策略7, 8, 9, 10, 11，7對於他來說已看成是一個「單項單位」的「集聚單位」了，至於採用從頭數策略的學生來說7還是七個「一」，亦即是合成的七個「單項單位」。
Richards & Carter (1982)強調兒童若能以「10」為可疊代的（iterabe）單位，也必能分段抽離（strip）出集聚的性質（composite
quality）；舉例來說，若兒童能從40, 50, 60, ,,90數出6個「10」，以回答出幾個 「10」的問題，代表此童是能以「10」為可疊代的單位了。進一步，能把42這樣地數看成是4個「10」與2個「1」的集聚。那麼對於處理算式填充題42＋（ ）＝76的問題時，學童能協調兩個高低階的單位獨立地往上數出三個「10」與4個「1」而求出34的答案（Steffe,
1984, p. 107-109）。
關於可疊代的集聚單位，Steffe認為先俱有經驗性的集聚單位（experiential
composite units），與抽象的集聚單位（abstract composite units）後，才俱有可疊代的集聚單位（composite
units as iterable）。民八十二年版數學新課程（部編版）在第三冊裡，呈現「又十」與「少十」的策略以解加法或減法的問題，那麼採用此策略的學生是否把「10」當成可疊代的集聚單位了呢？
一位兒童處理12個積木問題再加給多少個積木會等於19個積木時，採取「10加9等於19，從9這邊拿2給10，10變成12，9於是少了2就變成7。」，這種利用10與9兩部分的的子單位（subunits）從整體19脫崁（disembed）出來做獨立的運作，置回原處時保持原有的整體不變，能擁有這樣的運思稱為「部分全體運思」。簡單的說，此運思是能運用補賞（compensenation）的策略於合成與分解的情境中（Steffe,
1994）。
Steffe (1988) 認為調和單位間的關係的推廣數序列所形成的運思是乘法的根源。Confrey (1994) 指出許多的研究似乎都不把重複累加（repeated
addition）視為乘法的概念。但是，如果重複累加所指的是能指認（identification）出單位且能以連續計數出那個單位的例子，如此單位的指認動作是單位協調的基模（units
coordinating scheme）也是加法性概念與乘法性概念的分野(Steffe,1994)。準此而論，單位的擁有似乎是建立乘除法概念的必要歷程。數學新課程第四冊已出現「一隻青蛙四條腿，13隻青蛙幾條腿？」的問題，雖然編輯者並未要求學生用乘法公式來解這到問題，只是用「乘號」來記錄乘法（或連續累加）問題的題意，但是值得探究的是二年級下學期的兒童是否能指認出「四條腿」這個單位了呢？換句話說，學生是否能說出13個「四」或者「四」的13倍了呢？
Vergnaud (1983)用維度模型（dimensional model）將乘法從加法中區隔出來，他說乘法結構部分是依賴加法結構，但是乘法自己有內在的組織（intrinsic
organiztion），無法簡單化約成加法的觀點（reducible to additive aspects）。Davydov(1991) 認為乘法在實際的情境裡有實測（measurement）作為它的源頭（source），是有別於加法。由此觀之，此作為源頭的實測，其實就是實際情境中的單位量。
Kamii & Livingston (1994) 指出一位被問到「6×6=36,那麼6×7=?」的兒童，回答「7比6多1，因此6×7比6×6多1」表示此童只有加法性思考，尚未到乘法性思考。是否可以斷定該童對於「1」的單位與「6」的單位並未調和呢！Clark,
& Kamii (1997)探討有關乘法性思考的時更進一步指出，當兒童能擁有乘法性思考時，他就能同時擁有低階單位（1） 與異於一的高階單位思考。
Davydov (1969/1991)認為乘法問題其實是單位量轉換的問題，亦即是從「集聚單位」轉換成「單項單位」；相反地，除法問題就是從「單項單位」轉換成「集聚單位」的問題。而目前八十二年版數學新課程用解決分數除以分數問題時，不主張用「顛倒相乘」的方法，而採用找出公分母（通分）之後，再對照分子的方法，其實，就是以單位量轉換的觀點解決分數的除法。而國內教科書處理異分母加減時所採用的「通分」，也是用「單位量轉換的觀點」處理。
甯自強（1995）撰述28×15=420的例子時強調，這個算法是「幾個十幾個一的幾個十倍又幾倍」，相當於複名數與複名數直積乘法（cartesian
product）的計算方式，也就是乘法對加法的分配性質應用在多單位的系統上， 六十四年版的教材所呈現的計算方法是隱含的，八十二年版的實驗課程試圖將其彰顯在教學活動中，先是幾十幾倍，才繼之以幾個十倍又幾倍。甯自強認為上述性質的察覺發生在中年級的後段，性質的瞭解要等到高年級才能完成，至於真正要能用外顯的動作與運思來呈現是什麼時候呢？
知道十個一為一個十，以及十個十為一個百的兒童，不一定會類推十個百，以及百個百的問題；另外有關有小數的部分，會解2.345=2+（）×0.1＋（）×0.01+（）×0.001的計算問題的學童，又有多少人知道0.1=0.01×10，與0.01
=0.001×10呢？職是，這種牽涉多單位運算性質的理解是待探討的。
Lamon (1994)的研究比例問題時發現，參考單位（reference
unit）或單位整體（unit whole）的建立，且用此單位以重新詮釋（reinterpret）新的數量情境似乎是發展複雜數學概念的關鍵；從加減法躍進到乘法結構需要「多重合成的概念性協調（conceptual
coordination of multiple compositions）」，有些甚至到三層單位的合成呢！Lamon更進一步指出：集聚單位一旦建立後，用此集聚單位以重新詮釋新的數量情境的過程，就是Freudenhal
(1983)所說的基準化（norming）的過程。
單位化與基準化在解決分數與比例（fraction and ratio）的問題方面提供了關鍵性的機制（mechanism），也給分數除法教學提供了「被除數是幾個除數（複合單位）」的轉換問題，這樣的觀點，其實是以「包含除（partition
division）」的方式來詮釋分數除法的意義，但是多少六年級學童可以把把前面的被除數用後面的除數來詮釋，也就是把集聚性質的分數（除數）看成是一個單項單位，而把「被除數」說成是幾個「除數」的單位呢？（見圖七）
有關幾何量（面積與體積）的單元也是與單位量有密切的關係，蘇俄數學教育學者Antonovskii等人. (1990) 指出：單位的迷思概念可能導因於我們用幾何量的維度理論（theory of dimension
of geometric quantity）的處理方式，例如，當我們計算平行長方體（3㎝, 4㎝, 5㎝）的體積時，往往是用3 cm × 4㎝ × 5㎝，不是以立方公分（cubic㎝）為單位
，先計算一層3×4 cubic cm, 再算其五層，也就是3×4 cubic cm × 5=60 cubic cm。而且面積與體積的單位往往設計成cm2, cm3，以致學生會以為單位（cm）放進去相乘而得到cm2,
與 cm3。造成學生認為面積與體積的單位都是長度單位相乘的結果。
Steffe, & Cobb（1988,1994）把國小學童數概念運思方式的發展分為如下的三個階段，序列性合成運思（initiate
sequential operations）：將數個一合而為一，形成一個集聚單位；累進性合成運思（progressive uniting operation）：以一個集聚單位為基礎繼續結合新的「一」，而形成集聚單位；部分全體運思（part-part
operation）：掌握「一」與以「一」為元素所合成而得的集聚單位間的部分全體關係，明顯的區分兩者的意義。國內學者甯自強（1992; 1993）接續又把能同時掌握兩個層次的部分全體運思的運思稱為「測量運思」，並置於「部分全體運思」之上，對此運思期的學童而言，數是多單位的系統。Steffe
(1994) 在兒童的乘法基模（childrens’ multiplying schemes）裡也提到「測量基模（measurement scheme）」，這個階段「交換性（commutativity）」，「分配性（distributivity）」與「縮節（curtailment）」似乎可發生，但是如何發生卻需進一步探討。
甯自強又把兒童分數概念的發展分成：分數的前置概念，起始單位分數（initial unit fraction），加法性分數（additive fraction），與巢狀分數（nested fraction）、與有理數（rational number）等階段（Ning, 1992; 李光榮1997）。分數前置概念的兒童把“一半“只是將物件分成兩部分中其中的一份,不代表物件等分；起始單位分數階段的兒童把
1/3+1/3=2/6是因為當1被複製時,分割數3也被複製；加法性分數階段的兒童能理解單位分數內容為一個或多個的離散量；巢狀分數階段的兒童能以等分割方式確定分數的等值
；有理數階段的兒童能以共測單位比較兩分數的大小。
這種劃分其實是根據分數單位的複雜程度來作區分的，八十二年版的部編本數學實驗課程在處理分數運算的應用問題時，依照單位分數所指的內容物來劃分難易程度，也就是說內容誤為單一個數、多數、分數、未知數，然後才是不定數（朱建正，1997）。
Steffe 等人(1989)指出以「定量未知數(quantitative
unknown)」一詞更適合未知數，真正未知的是未知單位與1單位之間的關係未知，1單位和未知單位都可被視為「一」，只是做為1單位的一和做為未知單位的壹(在此使用壹與1單位的一有所區別)是不同的「一」，在未知數問題中，我們未知的是一和壹之間的關係，測量實施的目的在於建立已知數與未知數之間的關係，關係一經建立則一與壹之間的關係就被蘊藏而等待求出（引自陳維民，1999）。
朱建正（1997）撰述「國小數學課程的數學理論基礎」一書時指出，未知數的意義可由問題情境推知，當某依被指稱的數或量的值確實存在稱為未知數，狹義的未知數專指透過算式的推演而能有效求出者，例如，（□＋3）×5=20；廣義的未知數，則需透過測量或推估，例如，地球的表面積。兒童若能將未知數□合成或加減，例如，□×3＋□×1/2＝□（3＋1/2），是否意味著學童能將□看成是一個單位或物件（object），朱建正更進一步指出，（□＋5）×1/3=□×1/3＋5×1/3對學童來說容易，但是把（□＋5）÷3寫成□÷3＋5÷3卻是困難的，可見，未知數□看成一個單位，還得視未知數所在的情境呢！
單位化與基準化的能力
Lamon（1994）提出了單位化（unitizing）和基準化（norming）的觀點可以幫助老師分析學生的解題想法，並進一步說明一旦集聚單位的觀念建立，而可以用此集聚單位來重新描述新的數量情境的過程。
而所謂的「單位化」，就是在解比例問題時，先求出單位量，再利用單位量來解題。例如，一根5公分長的鐵棒重3公斤，同樣材質和粗細的鐵棒4公分有幾公斤重？對於這樣的問題，如果先算出1公分長有
公斤重（3÷5＝
），此即為單位量，再以此單位量算出4公分長有
公斤重（
），這就是比值的單位化。如果把單一物體當成一個單位時，這種單位稱為單項單位（singleton unit），當我們把幾個物體當成一個單位時，這種單位就是複合單位（或稱集聚單位），如我們將五個一數來數數時，五個一數就是一種複合單位。
基準化（norming）是採取一些單位的架構以概念化其他的情境，稱為基準化。從Freudenthal（1983）所提出的例子來看，「將地球的大小想成像一根針頭那樣大（大約1公厘），然後根據這樣的定義重新看待整個太陽系的大小。那麼太陽就變成是直徑只有10公分的球體，且太陽與地球的距離也變成只有10公尺而已。」，這種以一個單位架構來推廣其他情境的方法，我們就可以說是一種「基準化」的過程，在學習數學中，這樣的思考是很普遍的。
黃武雄(1994)舉這樣的例子：若氣象台報告颱風中心再台灣東方約200公里時¸若一位聽眾把台灣島長500公里拿來相比，對於颱風大體有多遠？心中便有了初步的概念，如此以500公里為基準量，去估計一個比較量200公里，會有更清楚的估計。一個認知者深入掌握某一特例的特性，然後以特例為比較的基準，再擴展至一般的情況，例如，地球半徑約6000公里，當吾人知道尼羅河長6648公里，會把尼羅河長與地球半徑相比，知道略長於地球半徑，更進一步地利用赤道長比半徑為2p倍，進而知道赤道長約為38000公里。黃武雄據此說明，比較(基準化)是知識的基礎，也是同化的手段（黃武雄, 1994）。（見圖七）
一、分數教學概念結構圖（見圖一）
二、分數子構念難易位階圖（見圖二）
三、網路教學資源-分數的參考網站
小六數學資源http://home.school.net.hk/~samyukps/submaths6.htm
小五數學資源http://home.school.net.hk/~samyukps/submaths5.htm
http://ihouse.hkedcity.net/~ma1212/count_html.pl
http://www.hkedcity.net/iworld/resources/cabinet.phtml?parent_id=715&iclub_id=41&tool_id=41 香港教育城
http://www.hkedcity.net/ 香港教育城
http://netcity2.web.hinet.net/UserData/mathland/cai/fr1.html昌爸工作坊
http://hkfew.hkedcity.net/tll/ps/ma/ma0001ph/index.htm教與學資料庫
http://hkfew.hkedcity.net/tll/ps/ma/ma0001ph/main.htm
HPM通訊第四卷第一期
http--163.26.24.2-87sc-main.htm
圖一：分數教學概念結構圖
（Conceptual scheme for instruction on
fraction numbers.）
(修改自Behr , Lesh , Post, Silver,1983.p.100)
機率 小數 整數（除法） 分數
肆、研究方法與實施過程
一、研究方法與步驟
(一)資料收集與評估
1.背景資料︰學生的行為表現、先備知識等相關背景資料有所了解，須借助於擔任主要教學的教師的協助。
2.觀察︰觀察內容包括學生對於教師教學的接受程度(喜好的教材呈現形式、聲音、影像、順序)、學習狀況(包括目前進度與學習困難)、回饋反應及表達方式(口語的、動作的、面部表情、作業情形、上課參與)
3.訪談：對學習成就低落學生實施補救教學或學習輔導訪談及學業成就紀錄等。
(二)教材分析與教學活動設計
1.採用本校五年級數學教材(2002年康軒版)。從分數相關單元的分析中，發現五年級的分數教材重點為
分數乘以整數（量数觀點）
整數除以整數等於分數（商的觀點）
整數乘以分數（運算子觀點）
2.實驗之教學活動設計：
（1）佈題教學探究分四階段進行：
階段一：研究者引導佈題設計，由教師進行教學。
階段二：研究者實際進入課室教學，由教師提出意見。
階段三：教學者自行設計與執行教學活動（此為修正課本之教學活動）。
階段四：教學者能依據學生的解題類型，建立結構化之教學活動以幫助學生發展數學意義。
（2）資訊融入數學教學的步驟
從網站中選出適當的教學活動，提供教師佈題的參考。
從網站中選出適當的教學活動，提供給作為補救教學的題材。
見單元教學：分數乘以整數及等值分數之概念
整數除法與分數之概念
分數乘以整數及分數概念
3.教材分析︰
4.訪談原案及分析：
(三)教學研究流程：見圖三
(四)教學工具：「昌爸工作坊」網站：見圖四
二、研究對象︰
研究者決定以五年級三個班全體學生為樣本，另以南新國小五年某班學生為對照樣本，期中再由五年樂班級任教師各推薦三位學習困難兒童，進行補救教學，釐清迷思概念。
三、研究時間：
教學實驗進行於五年級第二學期開始，於民國92年2月至6月，如下表：
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年度 |
月份 內容 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
備註 |
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92 年 2 月 至 93 年 6 月 |
工作計畫說明 |
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以本校五年級教學群及三班學生為主要課程實驗對象 |
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學習困難案例分析 |
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文獻尋找教學策略 |
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分數概念診斷測驗（前測） |
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網路搜尋教學資源 |
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設計及修訂教學活動 |
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課室教學活動、線上教學活動 |
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學生反思學習成果 |
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學習成果測試（後側） |
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反思、修正教學活動 |
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撰寫教學研究成果 |
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分數迷思概念的釐清之行動研究教學流程
圖四：教學研究流程圖
四、研究工具
本研究採用工具分二部分
(一)量的研究：透過前、後測驗
1.信度：透過測試成績統計、分析
2.效度：
評量工具及訪談內容資料均透過一位專家學者、三位資深教師及多位相關教師，以小型研究會方式討論、檢視與修正，並由實際教學觀摩提供教師之教學模組。教材及教學呈現即在專家反覆檢核及綜合討論中循環發展而成。
(二)質的研究：透過研究群
1.三角校正
2.持續比對：包含同一題目不同解法及不同題目之持續比對。
伍、研究結果
一、量的結果：實驗組是否優於控制組
描述性統計量（實驗組、控制組各班前後測分數比較）
描述性統計量（實驗組、控制組前後測分數比較）
單因子共變數分析
二、質的結果：
（一）學生學習情形：
前測部分
1. 小智的零用錢的
倍跟小華一樣多，你能猜得出誰的零用錢比較多？為什麼？(單位量指認)
正確類型
(1)利用文字表徵：
例如小智的錢是小華的2倍，小智拿一半就跟小華一樣多。
(2)利用設定單位量為某數：
例如小智有100元，曉華是小智的一半等於50元，所以小智多。
錯誤類型
(1)缺乏單位量的概念：
例如小智的錢和小華的錢都是
。
(2)單位量指認錯誤：
例如小智的錢是小華的
倍，故小華多。
(3)其他：
2.嘉兒到書店去買素娜的生日禮物，買一頂小花帽要花掉她
的零用錢，買一條圍巾
要花掉她
的零用錢，請問哪一種東西比較貴？為什麼？（部分－整體類型）
正確類型
(1) 利用通分比較：
利用通分以比較分數的大小，如
=
、
=
，來比較
＞
。
(2)利用圖形表徵：
從等量（圓形或長方形）做子分割，來判斷
＞
。
(3)利用分母比較：
能了解分子相同，分母越大值越小，來判斷
＞
。
(4)利用設定單位量為某量數：
設定單位量為某數量（設零用錢為12元），計算出
，與
的多寡然後再比較大小。
錯誤類型
(1)比較分數的大小易受分母所影響：
例如
＞
。
(2)分數通分迷思：
例如
=
=
，
＞
，所以
＞
。
(3)其他：
3.圭平拿他零用錢的
買一枝原子筆，只知道原子筆一枝是8元，你能算出圭平有多少零用錢嗎？為什麼？(運算子)
正確類型
(1)利用部份/整體的概念：
例如
就是5份中的一份，1份是8元，那五份就是40元。
(2)利用圖形表徵：
例如將圓等分成5等份，1等份是8元，則全部為40元。
錯誤類型
(1)缺乏部分/整體的概念：
例如一枝是8元，則零用錢即為8元。
(2)其他：
4.一個容量是9公升的大水桶，倒入7公升的水，請問水佔整個大水桶容量的多少？
為什麼？（商的類型）
正確類型
(1)利用圖形表徵：
將9公升的水桶做9等份分割，而7公升的水則佔了9等份中的7等份。
(2)利用分數的整數倍：
將9公升的水桶分為9份，7公升的水即佔水桶9份中的7份。
(3)利用除法策略：
例如7÷9=
。
錯誤類型
(1)缺乏整體單位量的觀念：
例如無法將水桶視為一個整體，倒入7公升的水即水桶裡的7公升。
(2)其他：
5.一罐鮮奶3公升，阿勇一口氣喝了全部的
，請問阿勇喝了多少公升的鮮奶？你是
怎麼知道的？（運算子類型）
正確類型
(1)利用等量分割：
利用
即為4份中的一份，將3公升等分成4等份，再取其中的一份。
(2)利用整數的分數倍：
以3公升的鮮奶當單位量，再求其單位量的
，3×
=
。
錯誤類型
(1)缺乏單位量的概念：
例如喝了全部的
即為
公升。
(2)其他：
6.下圖是兩個相同面積的長方形，請問斜線面積有一樣大嗎? 為什麼？(部分/整體)
正確類型
(1)利用部份/整體的概念：
例如斜線部分面積各佔全部面積的
。
(2)利用圖形表徵：
例如以移動圖形來說明面積一樣大。
(3)利用等值概念：
例如
＝
，所以面積一樣大。
錯誤類型
(1)缺乏整體量的概念：
例如斜線面積形狀不一樣，一個大一個小。
(2)其他：
7.請問下面兩個圖形斜線部分的面積一樣大嗎？為什麼？
(單位量指認)
正確類型
利用單位量比較概念：
例如斜線面積都是圖形的一半，但一個是圓形，一個是長方形，
所以不一樣大。
錯誤類型
(1)缺乏單位量的指認：
例如斜線部分面積都是全部的
。
(2)其他：
8.請在數線上標示出
的位置，並說明你的方法。(量數)
0
1
正確類型
(1)利用單位亮等量子分割的概念：
例如將0~1等分成4格，
就是取5格的位置。
(2)利用單位量子分割，但未具等量分割的概念：
例如位等量分割或直接標示。
錯誤類型
(1)任意標示、缺乏數字常識：
例如沒分分割直接標示或
小於1。
(2)其他：
9.請在數線上標示出
的位置，並說明你的方法。（量數類型）
0
1
正確類型
利用等量分割：
利用等量分割，將0~1之間分成8等份，再標示出
的位置。
錯誤類型
(1)任意標示、缺乏數字常識：
例如沒有分割直接標示或無法了解
是小於1且接近
的數，因而出現接近1的類型。
(2)無法將整體視為單位量：
例如無法將1視為整體作等量分割，而將整條數線作等量分割。
(3)缺乏等量分割的慨念：
例如沒有做到等量分割的動作。
(4)其他：
5.五年甲班全班共有40人，其中男生有16人，請問男、女生各佔全班的多少？，請說說看你的方法。（比值類型）
正確類型
(1)利用部分/部分/整體：
由已知男生人數求出女生人數，再依序求出男、女各佔全班之比值。
(2)利用除法策略：
學生能利用商的概念，以16÷40=
、24÷40=
求得男女生各佔全班的比值。
(3)利用圖形表徵：
藉由圖形(線段或畫圈)求出男女生人數，再依序求出男、女各佔全班之比值。
錯誤類型
(1)缺乏部分/整體的概念：
例如男生為16人，女生為24人。
(2)缺乏整體單位量：
例如全班人數為16+40=56。
(3)其他：
後測部分
1.（一）媽媽做一件衣服需費
日，請問相當於是幾小時？
（二）一修和尚一天靜坐7小時，請問相當於是幾日？
（時間單位量轉換，日 時）
（一）日 時
正確類型
（1）分開計算：
將
日分成3日與
日分別乘以24做運算。
（2）直接計算：
直接將
日乘以24做運算。
錯誤類型
（1）時間單位量的迷思：
將一日當作60小時，以
×60做運算。
（2）其他：
（二）時 日
正確類型
（1）商的概念：
利用7÷24＝
做運算。
（2）分數的整數倍：
利用1時等於
日，以7×
＝
做運算。
錯誤類型
（1）時間單位量的迷思：
將一日當作60小時，以7÷60做運算。
（2）其他：
2. 請你畫出一個邊長是
公分的正方形，並計算它的周長是幾公分？
（運算子類型）
正確類型
正確做圖與計算：
能正確畫出邊長為
公分的正方形且計算邊長為
×4＝18
公分。
錯誤類型
（1）做圖錯誤：
無法正確或出正方形。
（2）其他：
3. 小華練習投籃15次，投進的有9次，請問投進的次數是全部的多少？
（比值的類型）
正確類型
商的概念：
利用9÷15＝
做運算。
錯誤類型
（1）錯誤運算方式：
利用9×15做運算。
（2）其他：
4. 一枝鉛筆的長度是15 公分，一枝毛筆的長度是19公分，請問鉛筆的長度 是毛筆的幾倍？（商的類型）
正確類型
商的概念：
利用15÷19＝
做運算。
錯誤類型
（1）大數除以小數：
直接拿大數除以小數做運算。
（2）其他：
5. 大象的體重有2公噸，小象的體重是大象的
，請問小象有多重？
（運算子的類型）
正確類型
（1）運算子概念：
利用2×
＝1
做運算。
（2）單位量子分割：
將2公噸分成7等份再求當中的四份。
錯誤類型
（1）錯誤運算方式：
例如利用2－
＝
做運算。
（2）其他：
6.（一）從台中乘坐自強號火車到台北需
小時，相當於是幾分鐘？
（二）爸爸每天固定要運動35分鐘，請問相當於是幾小時？
（時間單位量轉換，時 分）
（一）時 分
正確類型
（1）直接運算：
直接將
小時乘以60做運算。
（2）分開計算：
將
小時分成2小時與
小時分別乘以60做運算。
錯誤類型
（1）時間單位量的迷思：
例如將
小時視為2小時3分鐘。
（2）其他：
（二）分 時
正確類型
商的概念：
利用35÷60＝
做運算。
錯誤類型
（1）時間單位量的迷思：
例如利用35÷24做運算。
（2）其他：
7. 一條綵帶長11公分，平分成5段，請問其中3段綵帶的總長度是多少公分？
（量數的類型）
正確類型
（1）單位量子分割：
利用將採帶平分成5段，再求其中3段的長。11÷5＝2
，2
×3＝6
。
（2）運算子概念：
利用11×
＝6
做運算。
錯誤類型
（1）錯誤的運算法則：
例如3÷11、5÷11做運算。
（2）其他：
8. 運動園裡的黃金莽蛇去年有25公分長，現在長成38公分，請問現在的長度是去年的多少倍？（商的類型）
正確類型
商的概念：
利用38÷25＝1
做運算。
錯誤類型
（1）單位量指認錯誤：
利用25÷38做運算。
（2）其他：
9. 電線桿的高度是其影子長度的
倍，已知影子長度是4公尺，請問電線桿的高度是多少公尺？（運算子的類型）
正確類型
（1）運算子概念：
利用4×
＝5
做運算。
（2）單位量的子分割：
將4公尺平分成5段，再求7段的長。4÷5＝
，
×7＝5
做運算。
錯誤類型
（1）錯誤運算方式：
例如4＋
、4÷
等等錯誤的運算方式。
（2）其他：
10. 全班學生有36人，每5個男生就有4個女生，請問男生有多少人？
（比值的類型）
正確類型
（1）倍數法：
例如將男女看成1組，36人可分成4組，1組有男生5人，所以男生5×4＝20，
女生4×4＝16。
（2）圖像表徵：
利用畫圖的方式，每5個男生就4個女生，畫滿36個，求出男生20人，女生16人。
錯誤類型
（1）錯誤運算方式：
例如36÷5、36÷4等等。
（2）其他：
個案訪談
單位量結果與討論
一、能夠利用假設單位量解釋題意的倍數關係
原案一（2003年4月x日訪談）
0101師：你這邊寫小智的錢比較多，為什麼？
0102生：因為小智一半的錢跟小華一樣多，小智的錢就是小華的2倍，所以小
智的錢比較多。
0103師：那你答案上寫小智的錢是
的2倍，是什麼意思？
0104生：因為小智的
跟小華一樣多，所以小智全部就有
的2倍，也就是1。
0105師：那小華呢？
0106生：小華只有小智的一半，所以1大於
。
0107師：你能不能舉例說明？
0108生：如果小智有100元，小智的一半就是50元，小華就有50元，所以小
智比較多。
分析一（2003年4月x日分析）
鍾小澤一開始對於原案一的問題，從行號0104推斷他似乎可以知道小智是小華的兩倍，但又說不清楚（小智全部就有
的2倍），接著從行號0106他又說「小華只有小智的一半」，因此初步判斷他理解小智與小華的零用錢的大小關係。能以小智的零用錢作為計算的依據，配合部分整體的概念來解題〈行號0104〉，也能夠以實際的假設單位量（假設小智有100元）那麼他的一半就是50元來說明〈行號0108〉。
二、能夠指認單位量的差異性
（一）單位量相等的題型
原案二（2003年4月x日訪談）
0109師：你能說明斜線面積為什麼一樣大呢？
0110生：因為兩個斜線面積各佔長方形的
。
0111師：好，我們先看第一個長方形，這個三角形佔它的多少？
0112生：
。
0113師：那第二個呢？
0114生：
。
0115師：那為什麼會相等？
0116生：約分，
把它約分為
，各佔長方形的
，所以斜線面積相等。
分析二（2003年4月x日分析）
在這個問題當中，鍾小澤利用部份整體的概念進行解題，明確地表示兩個斜
線面積各佔長方形的
〈行號0110〉，並利用等值分數（約分）來說明兩斜線面積各佔長方形的
，因此斜線面積相等〈行號0116〉。
（二）以相異的單位量做檢驗
原案二為兩個相同面積的長方形，為了要確認鍾小澤單位量指認的觀念，研究者以相異的單位量問題來檢驗鍾小澤指認單位量的能力。
原案三（2003年4月x日訪談）
0117師：兩個斜線面積有沒有一樣大？
0118生：沒有。
0119師：說說看為什麼沒有？
0120生：因為一個是橢圓一個是長方形。
0121師：好，我們先看橢圓，斜線面積佔它多少？
0122生：
。
0123師：那正方形斜線面積佔多少？
0124生：也是
。
0125師：你說橢圓也是
，正方形也是
，那怎麼會不一定？
0126生：一個是橢圓，一個是正方形，他們的面積不一樣。
0127師：為什麼會不一樣？
0128生：因為面積不一定會一樣。
0129師：好，那這兩題的題目你有沒有覺得哪裡不一樣？
0130生：第一題是兩個相同面積的長方形，第二題是兩個圖形。
0131師：第一題因為面積相同所以斜線面積一樣大，那如果第二題面積也一樣大呢？
0132生：那斜線面積也會一樣大。
0133師：所以這兩個斜線面積一定會不一樣嗎？
0134生：不一定，如果這兩個面積（指著橢圓和長方形）一樣的話，就會相等；不一樣的話，
就會不相等。
分析三（2003年4月x日分析）
透過這個問題，從行號0120研究者推斷鍾小澤是發現圖形不同，所以回答斜線面積不一樣大。然而從行號0126、0128他又能說明橢圓面積和長方形面積不一定會相等，因此判斷鍾小澤具備指認單位量的概念。能夠得知斜線面積都是原面積的
，卻因圖形不同、面積不一定相等〈行號0126〉，所以斜線面積不會相等。也能夠察覺兩個問題的差異之處是在於面積大小的異同〈行號0130〉。
當研究者假設若橢圓與長方形面積一樣大的同時，鍾小澤也能夠知道斜線面積會相等〈行號0132〉。利用「這兩個斜線面積一定會不一樣嗎？」的問法，能瞭解鍾小澤判定斜線面積是否一樣大的因素是在於橢圓與長方形的面積是否會一樣大。因此，研究者認為鍾小澤具有指認單位量的能力。
部分整體結果與討論
一、以分數比較大小作為解題的策略
（一）利用擴分並依據分子的大小來比較
原案四（2003年4月x日訪談）
0201師：你這邊用到的方法是什麼？
0202生：擴分，
擴分成
，
擴分成
，
＞
。
0203師：為什麼
＞
。
0204生：分母相同，分子愈大，值就愈大。
分析四（2003年4月x日分析）
在部分整體的問題當中，鍾小澤似乎是受到題目「請問哪一種東西比較貴」的影響，所以並沒有以部分整體的概念來做解釋，而是改以擴分的方式〈行號0202〉，來做分數大小的比較。從行號0204當中，鍾小澤能夠說明分數比較大小的依據（分母相同，分子愈大，值就愈大），因此研究者初步研判鍾小澤具有分數比較大小的能力。
（二）不具備完整分數比較大小的能力
原案五（2003年4月x日訪談）
0205師：好，那如果是
和
呢，分子相同，分母不同，哪一個大？
0206生：
＞
。
0207師：為什麼
＞
？
0208生：嗯…………………………………………………………。
0209師：你可以把你的想法給講出來。
0210生：嗯…………………………………………………………。
分析五（2003年4月8日分析）
研究者從原案四當中初步研判鍾小澤具有分數比較大小的能力，為了持續檢驗分數比較大小的能力，改採以另一種形式的分數（分子相同，分母不同）來檢驗。結果發現，鍾小澤雖然可以說出
＞
的結果〈行號0206〉，但卻似乎無法說明為什麼〈行號0208、0210〉。因此，研究者初步的研判或許有誤，鍾小澤可能是依據分子的大小來做比較，而不具備完整的分數比較大小的能力。
研究者認為，由於擴分這個動作往往都是以兩個分母的最小公倍數作為準則，因此學生在熟悉運算練習之後，就能夠很輕易的依分子的大小來做比較，而當研究者將題目改為分子相同、分母不同時，卻無法說明為什麼，所以研究者試著改以教學引導的方式，來補救鍾小澤的分數比較大小的能力。
（三）經補救教學後已具備比較分數大小的能力
原案六（2003年4月x日訪談）
0211師：
我們是不是可以把它看成說，你有4個披薩，要分給5個人，那
呢？
0212生：4個披薩要分給6個人。
0213師：對，那4個披薩分給5個人，每個人得的比較多，還是分給6個人，
每個人得的比較多？
0214生：分給5個人。
0215師：為什麼？
0216生：同樣的東西，分的人愈少，得到的東西就愈多。
0217師：你能不能以分子分母來說明呢？
0218生：分子相同，分母愈大值就愈小。
0219師：如果分母相同呢？
0220生：分母相同，分子愈大值就愈大。
0221師：你能舉例說明嗎？
0222生：有5個人分披薩，披薩愈多每個人分的就愈多。
分析六（2003年4月x日分析）
從行號0211與0213當中，研究者改採以生活實例的實物情境（如分披薩）來引導鍾小澤分數所代表的意義。在引導教學的過程當中，希望能藉由生活實例的情境轉換到符號的情境〈行號0217〉。從行號0216與0218看來，鍾小澤確實能將情境做轉換並賦予分數所代表的意義。在引導教學過後，從行號0218與0220研判，鍾小澤已經具有不同類型分數比較大小的能力，且能夠在實例與符號說明之間作轉換〈行號0222〉。
二、以部分整體的概念解題
原案七（2003年4月x日訪談）
0223師：你這邊寫的是8×5＝40，為什麼？
0224生：因為一枝筆8元，他的錢最多能買5枝。
0225師：為什麼他的錢最多只能買5枝？
0226生：因為
可以買一枝筆，全部是
，所以他可以買5枝筆。
分析七（2003年4月x日分析）
在這個問題當中，從行號0226研判鍾小澤能夠了解部分整體的概念，知道
是5份當中的一份，可以買一枝筆；也能夠把零用錢看成是1（全部是
），所以可以買5枝筆，一枝筆8元，所以零用錢有8×5＝40元。
再次檢驗部份整體的概念〈以作圖方式〉
原案八（2003年4月x日訪談）
0227師：你能不能以其他方式來解題呢，例如畫圖。
0228生：好。
0229師：你把他的零用錢分成幾份？
0230生：5份。
0231師：每一份有一樣大嗎？
0232生：每一份都是
，所以可以買５枝原子筆。
0233師：那一等份多少錢？
0234生：8元。
0235師：那零用錢總共多少錢？
0236生：40元。
分析八（2003年4月x日分析）
再檢驗的過程當中，研究者試著讓鍾小澤以作圖的表徵方式來說明部分整體的概念〈行號0227〉，而透過作圖，發現鍾小澤具有等份的概念。從所畫的圖看來，他能將將整個零用錢視為「1」而予以等量分割；從行號0232與0234研判他了解每一等份的意義與大小〈每一份都是
，每一等份8元〉。因此，研究者更能相信鍾小澤已經具備部分整體的概念。
商的結果與討論
一、以除的方式來解商的問題
〈一〉能以部分整體的概念來說明
原案九（2003年4月x日訪談）
0301師：你的答案寫
，為什麼？
0302生：因為7公升小於9公升，所以不能完全把大水桶倒滿，只能倒到大水桶裡面的7份。
0303師：你說大水桶裡面的7份，那全部有幾份？那一份是多少？
0304生：全部有９份，每一份是
。
0305師：你是怎麼算的？
0306生：我把水桶分成9份。
0307師：那
怎麼解釋？
0308生：9份當中的7份。
分析九（2003年4月x日分析）
從行號0302得知，鍾小澤瞭解7公升的水並無法將水桶倒滿（因為7公升小於9公升），因此只能倒到水桶的7份。再進一步的探討過程當中，發現鍾小澤是將水桶做9等份的分割〈行號0306〉，從行號0308研判，他是以部分整體的概念來做說明（7公升只是全部9份當中的7份）。
〈二〉單位與單位量的迷思
原案十（2003年4月x日訪談）
0309師：如果我今天倒入水桶
的水，請問是倒入幾公升的水？
0310生：
公升。
0311師：好，今天一個9公升的水桶（畫一個水桶），我把它倒滿了，請問有幾公升的水？
0312生：9公升。
0313師：好，我們在旁邊標刻度，把它分成9等份，一等份是多少公升？
0314生：
公升。
0315師：好，那我只要這一塊大小的水（指著標示
處），是多少公升呢？
0316生：
公升。
分析十（2003年4月x日分析）
研究者試著以反向的方式探討鍾小澤對單位與單位量的關係〈行號0309〉，從行號0310發現鍾小澤受到單位的影響，因而無法了解每一個單位所代表的量，而認為倒入
即有
公升的水。研究者試著以畫圖的方式來幫助瞭解〈行號0311〉，但從行號0316顯示，鍾小澤仍然無法跳脫單位與單位量的迷思當中〈
即有
公升的水〉。
〈三〉利用認知衝突能有效幫助學習
原案十一（2003年4月x日訪談）
0317師：你說這樣倒入
（指著圖形標示
處）是
公升，好，哪我倒入９次的
是不是就變成
公升＋
公升＋、、、＋
公升（加了9個
公升），那這樣是多少？
0318生：9個
公升等於1公升。
0319師：好，剛剛說把水桶倒滿了，你說有幾公升？
0320生：9公升。
0321師：那我把那水桶標示分成9等份，你說一等份是
公升，兩等份是
公升，照這樣下來，全部9等份等於
公升，也就是等於1公升，我們原本有9公升，被你一分變成只有1公升，怎麼會這樣？
0322生：啊，剛剛那邊錯了，1等份應該是1公升。
0323師：一等份是全部的多少？
0324生：
。
0325師：那如果倒入水桶的
，是多少公升？
0326生：
那就是有3等份，也就是3公升。
分析十一（2003年4月x日分析）
研究者嘗試以認知衝突的方式來幫助鍾小澤破除單位與單位量的迷思〈行號
0321〉。結果顯示，從行號0322發現，利用認知衝突的方式，鍾小澤能夠察覺到每一等份即為1公升，而不是
公升。再以問題作持續的檢驗〈行號0325〉，能夠知道
就是有3等份，也就是3公升。
二、能夠以除式的運算方法並說明除法的意義
原案十二（2003年4月x日訪談）
0327師：為什麼要用9÷15？
0328生：因為他全部投的次數是15次，如果只投進一球的話，就是15次中的
一次， 所以投進9球，就是15次中的9次，也就是
。
0329師：你能不能詳細一點的說明？
0330生：投進的次數除以全部的次數。
分析十二（2003年4月x日分析）
商的構念的有許多的情境，從行號0328當中可以發現鍾小澤能夠瞭解只進1球就是15次中的一次，投進9球就是15次中的9次，並以除式的方式來解題，也能夠說明除法的意義〈行號0330〉。
再次檢驗除式的情境
原案十三（2003年4月x日訪談）
0331師：為什麼要38÷25？
0332生：因為它問現在的長度是去年的幾倍？
0333師：然後呢？
0334生：然後把現在的長度除以去年的長度。
分析十三（2003年4月x日分析）
持續比較的結果，從行號0332初步研判鍾小澤能夠明瞭題目的意義，而從行號0334可以判定他具有正確使用除式的方法與意義。
三、除法沒有大數除以小數的迷思
原案十四（2003年4月x日訪談）
0335師：這個問題你是如何算的？
0336生：15÷19。
0337師：你是用小數除以大數，那前一題為什麼是大數除以小數？
0338生：因為前一題是問蟒蛇現在的長度是去年的幾倍，所以把現在的長度除以去年的長度。
0339師：那這一題呢？
0340生：鉛筆的長度是毛筆長度的幾倍，所以要用鉛筆的長度除以毛筆的長度。
分析十四（2003年4月x日分析）
許多的學童在作除式運算的同時，往往會發生大數除以小數的迷思。研究
者為了檢視鍾小澤是否有其迷思，改以其他情境的問題來持續作檢驗（小數除以大數）。在行號0337中，研究者試著詢問鍾小澤為何兩題做法不同，而從行號0338與0339當中，可以發現鍾小澤能夠清楚說明兩題除法的意義，所以可以斷定鍾小澤沒有受到大數除以小數的迷思。
運算子結果與討論
一、運算子（分數）的型態影響解題的策略
（一）單位分數的型態容易以部分整體的概念來解題
原案十五（2003年4月x日訪談）
0401師：說說看你為什麼要用3÷4？
0402生：因為喝了
，所以就把它分為4份。
0403師：你分成4份，那一份是多少？
0404生：3÷4＝
。
0405師：你能不能說清楚一點？
0406生：3公升平分成4等份就等於
公升。
0407師：那
公升是多少？
0408生：
公升就是4份中的一份。
分析十五（2003年4月x日分析）
在解題的過程當中，從行號0402可以了解鍾小澤受到題目單位分數（
）的影響而使用部分整體的概念來解題，從行號0406發現他是將3公升做4等份的等量分割，也了解所求的
公升（3÷4＝
）即為等分後4份當中的一份〈行號0408〉。
再次驗證單位分數的解題策略
原案十六（2003年4月x日訪談）
0409師：4公斤的西瓜，小明一口氣吃了西瓜的
，請問小明吃了幾公斤的西瓜？
0410生：4÷5＝4/5。
0411師：為什要4÷5？
0412生：因為
為5份中的一份，所以把它4公斤除以5分成5份。
分析十六（2003年4月x日分析）
再次驗證的結果，從行號0412發現鍾小澤對於單位分數的類型，依舊是使用部分整體（
為5份中的一份）和等分（它4公斤除以5分成5份）的概念解題。對於這兩個原案的結果，研究者認為學童在接觸分數時，都是以最小的分割做教學，如二等份，
即表示二等份當中的一份；而分數的型態則是以單位分數先做介紹，因此研判鍾小澤可能會受到單位分數的影響而以部分整體的型態解題。
（二）非單位分數型態（真分數、假分數）能以倍數的概念解題
原案十七（2003年4月x日分析）
0413師：你是如何算的？
0414生：2×
＝1
。
0415師：為什麼要用2×
？
0416生：因為小象的體重是大象的
，所以把大象的體重乘以
就可以了。
分析十七（2003年4月x日分析）
研究者改以不同型態的運算子（真分數）問題來持續比較，從行號0414發現，鍾小澤利用整數乘分數（倍數）的方式來解題，而行號0416則發現能夠說明乘法算式的意義，因此初步研判鍾小澤具有倍數的概念。
再次驗證假分數型態的解題策略
原案十八（2003年4月x日分析）
0417師：好，這一題電線桿高度要怎麼算？
0418生：因為電線桿的高度是影子長度的
倍，所以我用4×
。
0419師：你能說的更清楚嗎？
0420生：電線桿的高度是影子的長度乘以
。
分析十八（2003年4月x日分析）
再次驗證的結果，從行號0418發現鍾小澤對於假分數的類型，依舊是使用倍數的概念來解題，並且也能夠說明算式的題意〈行號0420〉。而對於真分數或假分數的類型，鍾小澤皆能以倍數的概念來作解題並做完整的說明，所以研究者可以斷定鍾小澤具有運算子（放大或縮小）的夠念來做解題的策略。
二、解題策略受題目敘述方式所影響
（一）以「單位化」的方式解題
原案十九（2003年4月x日訪談）
0421師：請你說明一下你的解法。
0422生：一條彩帶分成五段，其中一段就是11÷5＝2
，三段的長度就是一段的
長度乘以三。
分析十九（2003年4月x日分析）
從鍾小澤的解題策略當中，發現受到題目敘述的影響（平分成5段，求其中3段），而使用「單位化」的概念。先求出每一段的長度為2
公尺（11÷5＝2
），此時的2
公尺就是單位量，再利用單位量求出其中的3段長有6
公尺（2
×3＝6
）。
（二）以倍數的概念解題
原案二十（2003年4月x日訪談）
0423師：今天有一段布料長11公尺，請問其中的
段長多少公尺？
0424生：11×
。
0425師：你能說明為什麼要11×
？
0426生：因為是布料的
段，所以用布料的長乘以
就是答案。
分析二十（2003年4月x日分析）
研究者將問題敘述的方式改以分數的型態（一段布料長11公尺，請問其中的
段長多少公尺？）做為檢驗的問題，從行號0426發現，鍾小澤依然是使用倍數的關係來解題（布料的長乘以
）。由此可知，同樣的問題受到題目敘述方式的不同，鍾小澤的解題策略也相對的受到了影響。
量數結果與討論
一、了解分數代表的意義、大小與種類之間的轉換
原案二十一（2003年4月x日訪談）
0501師：當你看到
時，你會想到什麼？
0502生：假分數。
0503師：假分數比1大還是比1小呢？
0504生：比1大。
0505師：你還可以想到什麼？
0506生：可以換成帶分數1
。
0507師：很好，那
有幾個
？
0508生：5個
。
分析二十一（2003年4月x日分析）
在這量數的情境當中，研究者透過在數線上表示分數大小的方式，從行號0502與0504能夠觀察到鍾小澤對於
很有感覺〈
會想到假分數且比1大〉；而行號0506當中，除了做分數類型之間的轉換〈
可以換成帶分數1
〉，也能夠了解
是由5個
所組成〈行號0508〉。因此研究者研判，鍾小澤對於分數的意義、大小、與種類之間的轉換有高度的認知。
二、具有等量分割的概念但是否能夠準確受到分割數量所影響
（一）能利用工具（尺）做等量分割的動作
原案二十二（2003年4月x日訪談）
0509師：好，那你是如何標出
的？
0510生：0~1之間分成4個等份。
0511師：那每一等份多少？
0512生：
。
0513師：好，那你這一等份（指著1~
這段）是多少？
0514生：也是
。
0515師：這一段（指著1~
這段）是怎麼得到的？
0516生：跟這邊（指著0~1四等份中的一段）的一樣。
0517師：為什麼？
0518生：因為
有5個
，所以有5段。
0519師：你每一段都有一樣長嗎？
0520生：有，每一段都是1公分。
0521師：你怎麼知道每段是1公分？
0522生：我用尺畫的。
分析二十二（2003年4月x日分析）
在解題的過程當中，從行號0510發現鍾小澤能夠很直覺的將0~1做4等份的等量分割來求出
的大小，在行號0518當中，也知道
有5個
，所以利用5段
來求出解答，即使他是使用工具（尺）來做分割〈行號0522〉。
（二）能明確表達等份的動作
原案二十三（2003年4月x日訪談）
0523師：如果沒有尺，
你要如何畫？
0524生：把它四等份。
0525師：四等份要怎麼分才公平？
0526生：先二等份（點出
處）。
0527師：那一點是多少？
0528生：
。
0529師：好，那
在哪裡？
0530生：0~
中間（點出
處）。
0531師：那
在哪裡？
0532生：
~1中間（點出
處）。
0533師：好，那你的每一等份是多少？
0534生：
。
分析二十三（2003年4月x日分析）
由於題目0~1之間剛好是4公分的關係，因此鍾小澤可以利用尺做精確的等量分割，研究者試圖在沒有工具的情形之下，試圖了解鍾小澤在數線上等量分割的能力。然而在沒有尺的協助之下，鍾小澤依然能夠在數線上做等量分割，從行號0526發現首先由二等分出發，再依序點出
〈行號0530〉與
〈行號0532〉，因此在四等份的部分，鍾小澤似乎可以完成此分割。研究者初步研判，鍾小澤能以二等份出發在數線上作分割（即先二等份再四等份）。
再次檢驗數線上等量分割的概念
原案二十四（2003年4月x日訪談）
0535師：你要如何標出
？
0536生：０~1先８等份。
0537師：如果沒有尺呢，如何畫出
？
0538生：先二等份，再四等份，在八等份。
0539師：那
在哪裡？
0540生：3個
。
分析二十四（2003年4月x日分析）
研究者透過八等份的問題做驗證，在行號0528中發現鍾小澤能夠利用先前的經驗，先二等份、四等份再八等份，然後再利用3個
點出
的所在位置。因此研究者可以斷定鍾小澤具有在數線上作等份的能力。
三、無法準確做奇數倍數的等量分割
原案二十五（2003年4月x日訪談）
0541師：你如何在數線上標出
的位置？
0542生：先5等份，然後第三點就是
。
0543師：好，你在這裡畫畫看。
0544生：（依序點下四點，卻因沒有等分，又擦掉重畫，並且畫了好幾次）
0545師：你不是已經畫好了，為什麼要擦掉？
0546生：因為沒有一樣大。
0547師：你八等份都可以分一樣大，為什麼五等份不行？
0548生：八等份可以先二等份，然後四等份，就可以八等份。
0549師：那五等份呢？
0550生：五等份不能二等份，所以很難畫。
分析二十五（2003年4月x日分析）
學童在學分數時，最早接觸的是
，也就是將蘋果切成一半，做二等份的分割。上述問題都是以偶數分割來做檢驗，研究者改以奇數的分割來探討鍾小澤是否具備完整的數線等量分割的能力。所以在數線分割上，鍾小澤能夠輕易地做二等份的分割，再依序做四等份、八等份。從行號0548當中發現，鍾小澤能以中間點作為判斷的依據。但是遇到不能二等份（奇數量分割）的同時，只知道分成5段，而很難有一個基準來做依據〈行號0550〉。為了求其準確性，而導致畫了又擦、擦了又畫的局面〈行號0544〉。
再次檢驗奇數倍數的能力
原案二十六（2003年4月x日訪談）
0551師：請你在這裡標出
的位置。
0552生：（先二等份標出
，依序在0~
與
~1之間分成5段，依舊畫了幾次）
0553師：你是如何畫的？
0554生：我先畫出
，然後再分成10等份。
0555師：為什麼要先畫
？
0556生：因為10等份可以先分成兩等份，然後每邊分成5等份。
分析二十六（2003年4月x日分析）
再次檢驗的結果，行號0556可以發現鍾小澤能夠判斷分割的數是否為2的倍數，而決定是否可以先做二等份的分割。因此，鍾小澤在數線上做等量分割具有完整的概念，惟其在做圖上會受到分割的數量而表現有所影響。
比值結果與討論
一、無法以式子解比例問題中母子問題（部分-部分-全體）的類型
原案二十七（2003年4月x日訪談）
0601師：你這題怎麼空白？
0602生：不會算。
0603師：好，如果今天把題目改成，小新有9顆棋子，每2顆黑的就有1顆紅
的，請問小新有機顆黑色的棋子？
0604生：…………………不會。
分析二十七（2003年4月x日分析）
在這一問題當中，是屬於比例問題類型當中的母子問題，也就是部分-部分-整體的類型，鍾小澤回答不會算，研究者初步研判是數字的大小影響了解題，因此將題目的數據改小，並且將比例式改為2：1〈行號0603〉，然而結果顯示，鍾小澤依然不能進行解題〈行號0604〉。因此可以斷定鍾小澤無法以運算式子來解題。
二、透過圖形表徵解題
原案二十八（2003年4月x日訪談）
0605師：你可不可以用畫圖來幫你解題？
0606生：好。
0607師：你說說看是怎麼畫的。
0608生：我先畫9個圈圈，然後塗顏色。
0609師：你說說看是怎麼塗的。
0610生：兩顆黑的旁邊一顆紅的，有塗的是黑色，沒塗的是紅色。
0611師：這樣你有幾顆黑的？
0612生：6顆。
0613師：那紅色的呢？
0614生：3顆。
0615師：從你畫的圖還能不能看出什麼？
0616生：（沒有回答）
分析二十九（2003年4月x日分析）
由於鍾小澤無法透過符號表徵來解題，因此研究者希望鍾小澤能試著以圖形表徵的方式來幫助解題。行號0608當中可以發現，鍾小澤的解題策略是先將所有的9顆棋子畫出來，然後以著色的方式，兩顆黑色一顆紅色，依序把9顆給畫滿，來完成解題的動作。研究者試著引導鍾小澤能夠從圖形發現一些規則，但結果顯然不可行〈行號0615、0616〉。
更改數字與比例關係做再次驗證
原案三十（2003年4月x日訪談）
0617師：好，如果今天小新有18顆棋子，每5顆黑色的就有4顆紅色的，請問
黑色的有幾顆？
0618生：（依然用畫圖來呈現）
0619師：你說一下你所畫的圖。
0620生：全部有18顆棋子，每5顆黑色的旁邊有4顆紅色的。
0621師：你是一顆一顆畫，還是先把18顆畫出來？
0622生：我先把18個圈圈畫出來，然後在塗顏色。
0623師：所以你有幾顆黑色的？
0624生：10顆。
0625師：那紅色的呢？
0626生：8顆。
分析三十（2003年4月x日分析）
再次檢驗的結果，從行號0622發現，鍾小澤依然是先畫出１８個圈圈，再以塗色的方式來幫助解題。因此，研究者研判鍾小澤能夠以圖形的表徵來幫助解部分-部分-全體的題型。
三、能以分組（倍數法）方式解離散量的類型
原案三十一（2003年4月x日訪談）
0627師：你塗5顆黑的旁邊就有4顆紅的，如果從圖形來看，你要塗幾次5顆黑的4顆紅的？
0628生：2次。
0629師：塗一次5顆黑的4顆紅的，這樣有幾顆？
0630生：5+4＝9，9顆。
0631師：如果我們把塗一次有9顆當成是一組，那18顆就有幾組？
0632生：2組。
0633師：我們把18顆分成了2組，那一組裡面有幾顆黑的幾顆紅的？
0634生：有5顆黑的4顆紅的。
0635師：那兩組有機顆黑的？
0636生：5×2＝10。
0637師：那紅色的呢？
0638生：4×2＝8。
分析三十二（2003年4月x日分析）
研究者希望能夠藉由引導的工作，來幫助鍾小澤以分組的方式進入符號的表徵。研究者試著由鍾小澤所呈現畫圖的結果當中，引導進入有別於畫圖的的表徵
方式。行號0627當中，透過塗顏色的程序（塗5顆黑的旁邊就有4顆紅的）與
次數〈要塗幾次5顆黑的4顆紅的〉，期望鍾小澤能將5顆黑棋與4顆紅棋（9
顆棋子）視為一組，因而達到分組的依據。而從行號0635到0638當中，鍾小澤
能瞭解以每組裡面的黑色、紅色棋數乘以組數來完成解題。經由引導的過程，研
究者初步研判，鍾小澤能以分組（倍數法）方式來解部分-部分-全體的題型。
再次檢驗原始題目，能夠使用分組（倍數法）方式來解
原案三十三（2003年4月x日訪談）
0639師：你說說看你的算法。
0640生：我把男生和女生加起來，一組有9人，再把全班的人除以9就有4組。
0641師：那麼一組裡面有什麼？
0642生：一組裡面有5個男生4個女生。
0643師：那男生有幾人？
0644生：一組有五個男生，4組就有20個。
0645師：那女生呢？
0646生：一組有4個女生，4×4＝16。
分析三十三（2003年4月x日分析）
經過之前的教學引導，鍾小澤能夠以分組方式來完成解題。將之前鍾小澤所不會解的問題，再一次的呈現，結果發現，鍾小澤確實能夠以分組（倍數法）的方式來代替畫圖，並且正確地完成解題。因此，研究者可以肯定經由引導之後，鍾小澤能夠利用分組（倍數法）的解題策略。
四、不能以分組方式解決非整數倍（連續量）的組別
（一）仍然以分組方式來解題
原案三十四（2003年4月x日訪談）
0647師：38公升的奶茶當中，每5公升紅茶就有4公升的鮮奶，請問紅茶、鮮奶各用了多少公
升？
0648生：（寫下38÷9＝4
）
0649師：4
是什麼？
0650生：有4
組。
0651師：一組裡面有什麼？
0652生：５公升的紅茶和４公升的鮮奶。
0653師：那紅茶有多少？
0654生：不會算。
0655師：那鮮奶呢？
0656生：不知道。
分析三十四（2003年4月x日分析）
之前所接觸到的類型，皆是以離散量來呈現，研究者發現鍾小澤能夠以分組的方式來解題，因而改採以連續量的情境來檢驗。然而在連續量的情境當中，鍾小澤受到之前離散量解題的影響，從行號0648當中得知，仍然是以分組的方式來解題（38÷9＝4
），但是卻遇到不能分成整數組（4
組）的情境，而無法繼續完成解題。研究者研判，鍾小澤受到非整數組（連續量）的影響，也相對的影響了解題的成敗。
（二）嘗試以圖形表徵亦未能完成解題
原案三十五（2003年4月x日訪談）
0657師：你要不要試試其他方法？
0658生：（畫圖中）
0660生：不能分的剛剛好。
0661師：為什麼？
0662生：4組的話是36公升，但他說要38公升，不能剛好4組。
0663師：那紅茶、鮮奶有多少會不會算？
0664生：不會算。
分析三十五（2003年4月x日分析）
由這幾個原案可以發現，鍾小哲的分數概念限制在連續量或離散量的情境上而有所不同，在連續量的情境當中，遇到不能分成整數組的同時，便無法了解分數在題目當中所代表的意義，也無法以圖形來表徵，從行號0662可知，鍾小澤在處理連續量的情境時因受限於非整數組，導致解題的失敗。由此可知，連續量情境的解題要比離散量情境來的困難許多。
（二）課室的學習表現
（三）補救教學的學習表現
陸、研究結論與建議
根據研究結果，綜合歸納出研究之結論，並據以提出具體之建議及後續研究的方向。
一、結論
二、建議
柒、參考文獻